Matek: hogyan kell bizonyítani?

wikipédia:

Egy matematikai bizonyítás, vagy annak részletei lényegében abból állnak, hogy igaznak elfogadott kijelentéseket alapul véve kimondják egy másik kijelentés igaz voltát is.

Szóval úgy bizonyítod be, hogy valami igaz, hogy visszavezeted egy másik állításra, amiről már bebizonyított, hogy igaz (pl. valami matek tétel)

1.Páratlan négyzetszám=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1

k vagy k+1 mindig páros, így 4-gyel szorozva az a tag mindig osztható 8-cal, marad az 1

2. Ha lehet 0, 1 vagy 2 a maradékuk. Ha bármelyiknek 0, akkor nyilván kész vagyunk. Ha azonos a maradékuk, akkor a-b osztható 3-mal, ha különbözik, akkor csak 1 és 2 lehet, vagyis a+b maradéka pont 1+2=3=0

4.

(3k)^2=9k^2, maradéka 0

(3k+1)^2=9k^2+6k+1, maradéka 1

(3k+2)^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1, maradéka 1

Vagyis négyzetszám hármas maradéka csak 0 vagy 1 lehet.

6.

Eredeti szám ab, képzett szám a0b

eredeti szám 10a+b, képzett szám 100a+b, ahol a lehet 1, 2, 3, stb; b lehet 0, 1, 2, stb.

(10a+b+100a+b)/2=55a+b

Kétszeres: 55a+b=20a+2b

35a=b, ami lehetetlen

Ötszörös: 55a+b=50a+5b

5a=4b, ami a fenti számokkal csak úgy lehet, ha a=4, b=5

fordított is eszerint, most mennem kell

bocsi hogy lemaradt a vége, el kellett rohannom. Szóval a fordított: 55a+b=10b+a

54a=9b /:9

6a=b

vagyis a=1, b=6

3.

Tuti van erre egy szép bizonyítás, de én nem találtam meg. Szóval itt a csúnya:

Vegyük a legnagyobb k^2-t, amire k^2<n. Ekkor azt kell bizonyítanunk, hogy (k+1)^2<2n, vagyis a legnagyobb n-nél kisebb négyzetszám utáni négyzetszám és 2n közt van.

Tudjuk, hogy k^2<n

tehát 2k^2<2n

Vagyis tudjuk, hogy ahol (k+1)^2<2k^2, ott (k+1)^2<2n, és pont ez az, amit bizonyítani akarunk.

Az egyetlen kérdés, hogy hol igaz a (k+1)^2<2k^2 egyenlőtlenség.

k^2+2k+1<2k^2

0<k^2-2k-1

Az egyenlőtlenség gyökei k=1+-gyök2

vagyis a k^2=(1+gyök2)^2 fölötti számokra bizonyítottuk.

(1+gyök2)^2=3+2gyök2=5,828

Vagyis 5 fölötti számokra beláttuk. Külön 5-re ellenőrizzük, és igaz. Vagyis 4-nél nagyobb számokra beláttuk, hogy igaz az állítás.

5.-nél teljesen rosszul kezdtem hozzá először, nem nehéz a megoldás. Ha egy négyjegyű számból minden jegyből egyet kivonunk, az azt jelenti, hogy kivonunk 1+10+100+1000-t, vagyis összesen 1111-et.

a^2-1111=b^2

a^2-b^2=1111

(a-b)(a+b)=11*101

Mivel a és b egészek, így a-b és a+b is egészek, és 1111 csak úgy állítható elő egészek szorzataként, ha a-b=11 és a+b=101 (számelmélet alaptétele).

Tehát csak az

a-b=11

a+b=101

egyenletrsz-t kell megoldani.

Összeadjuk őket: 2a=112->a=56

b=56-11=45

Ellenőrzés: tényleg a két eredményünk kétjegyű és a négyzetük négyjegyű.

Úgy jössz rá a megoldásra, hogy felírod, amit tudsz, és aztán megpróbálod olyan alakba alakítani ezeket, amik megfelelnek neked. pl:

1. Tudod, hogy páratlan négyzetszámokról van szó. Az vagy

(2k+1)^2

vagy

2k+1=n^2

Utóbbiból semmi nem következik, úgyhogy megnézed az előbbit. Megpróbálod átlakítani. Hogy lehet ezt átalakítani? Nyilván el kell végezni a négyzetre emelést->4k^2+4k+1

Mit veszünk észre? Van 2 4-gyel osztható tag+1, és pont 1-nek kell maradnia maradéknak. Lehet, hogy a 4-gyel osztható tagok oszthatóak 8-cal is? Megpróbáljuk valahogy összevonni őket->4k(k+1). Ezen már észre kell venni, hogy miért osztható 8-cal.

Szóval a lényeg, hogy felírod amit tudsz és elkezded átalakítgatni, közben fél szemed azon tartod, hogy mit is kell bizonyítani. És ismerni kell sok trükköt, hogy mindig tudd, hogy mit kell előhúzni. Pl ha 3-mal való oszthatóság, akkor sanszos, hogy meg kell nézni, hogy 0, 1 vagy 2 a maradék és azokkal variálni. Ha megadják, hogy hány számjegyű valami, akkor felírod ilyen 100a+10c+d alakban, stb. Sokkal jobban nem tudom leírni. Alakítgatod, és figyeled az alakokat, hogy mikor látsz valamit. Az ilyen egyszerűeknél általában egy alakot tudsz felírni, vagy max kettőt, így magától jön, hogy hogy kell alakítani. Csak el kell kezdeni írni. Az segíthet, hogyha már ismered az eredményeket, hogy eljátszod számokkal, esetleg észreveszel valamit. Sokat kell gyakorolni, az mindig hasznos.