Nagyobb végtelenek?

Megszámlálhatóan végtelen mondjuk az egész számok halmaza.

-\infty, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., \infty

Megszámlálhatatlanul végtelen mondjuk a valós számok halmaza.

Ezt nem kezdem el írni. A különbség ott van, hogy a megszámlálhatóan végtelen számhalmazokban végtelen sok elem van, de véges intervallumon belül megszámolhatóak. A megszámlálhatatlanul végtelen számhalmazok bármely két eleme között is végtelen sok szám van, így ilyen halmazok esetében nem tudsz kiválasztani véges halmazt.

Például 1 és 4 között hány tört szám van?

Nyilván végtelen, hiszen bármilyen kis részre felbontható.

És akkor hány törtszám 1 és 1millió között. Nyilván végtelen, de meg tudjuk mondani, hogy az első végtelen halmaz eleme a másodiknak, tehát van értelme az összehasonlításnak

Megszámlálható végtelen az egész számok halmaza. Megszámlálható végtelen a racionális számok halmaza. Megszámlálhatatlan végtelen a valós számok halmaza.

Az első állítás például igazolható ezzel a sorozattal: 1 0 -1 2 -2 3 -3 ...

A másik két állításra itt találhatsz bizonyítást:

[link]

A kontinuumhipotézis szerint a kettő között nincs más számosság. Egy tétel szerint, ha nem fogadjuk el a kontinuumhipotézist, akkor a kettő között végtelen sok számosság van. Azt már nem tudom, hogy milyen számosságú végtelen.

Hogy valami „nagyobb” valaminél az a fizikában is fogalom…

Ilyenkor, hogy az A halmaz számossága nagyobb a B halmazénál, az azt jelenti, hogy a B minden elemének egyértelműen meg tudunk feleltetni egy elemet A-ből, de az A elemeinek nem tudunk B-ből. Ha A számossága nem nagyobb B-énél, és B-é nem nagyobb A-énál, akkor mondjuk őket azonos számosságúnak.

Például legyen A = {a, b, c, d, e} és B = {b, g, v, a}

Akkor itt B elemeinek megfeleltethetjük A-it így:

b –> a

g –> b

v –> c

a –> d,

de A elemeinek nem tudjuk egyértelműen megfeleltetni B elemeit, tehát az A számossága nagyobb B számosságánál.

Ha A = {a, b, c} és B = {g, d, a}, akkor ez meg oda-vissza. A elemeinek B elemeit megfeleltethetjük például így:

a –> g

b –> d

c –> a,

és B elemeinek A elemeit például így:

g –> c

d –> b

a –> a,

tehát A és B számossága most egyenlő.

Legyen most A a pozitív egész számok halmaza, és B a pozitív páros számoké.

B elemeinek A elemeit nagyon egyszerű megfeleltetni:

2 –> 2

4 –> 4

6 –> 6

…

De ha ügyesek vagyunk, A elemeinek is megfeleltethetjük B elemeit:

1 –> 2

2 –> 4

3 –> 6

…

Tehát a pozitív egész számok számossága a pozitív páros számokéval egyezik.

Ha A a valós számok halmaza, és B az egész számoké, akkor B elemeinek A elemeit könnyű megfeleltetni (lásd a fenti módszer), viszont belátható, hogy A elemeinek B elemeit nem lehet. Ezért lesz nagyobb a valós számok számossága, mint az egészeké.

A példádban természetes számoknak is könnyű megfeleltetni elemeket az (1, 2) intervallumból, például:

0 –> 1,01

1 –> 1,1

2 –> 1,11

3 –> 1,111

4 –> 1,1111

…

Tehát a természetes számok számossága nem lehet nagyobb, mint a (1, 2) intervallum számossága.

Tegyük fel, hogy az (1, 2) intervallum ÖSSZES elemének is sikerült valahogy megfeleltetni a természetes számokat:

1,87645749874… –> 0

1,49548676465… –> 1

1,54413786876… –> 2

1,65468764323… –> 3

…

Na most nézzük azt a számot, amit úgy kapunk, hogy leírunk: 1,

aztán a következő számjegy az első szám első tizedesvesszőt követő jegyénél 1-gyel nagyobb lesz (ugye az 8-as):

1,9, így ez a szám biztos nem ugyanaz lesz majd, mint az első.

a következő jegy legyen 1-gyel nagyobb a második szám második tizedesvessző utáni jegyénél, ipsz, az egy 9-es, akkor legyen 0:

1,90, így ez a szám biztosan nem ugyanaz lesz, mint a második.

A következő jegy legyen eggyel nagyobb, mint a harmadik szám harmadik tizedesvessző utáni jegye:

1,905, így ez a szám a harmadikkal sem egyezik.

Ha megyünk tovább le lesz írva egy szám az (1, 2) intervallumból, aminek nem feleltettünk meg számot (1,9057…), pedig feltettük, hogy az összesnek sikerült. Ez ellentmondás.

Tehát az (1, 2) intervallum elemeinek nem lehet megfeleltetni a természetes számokat, de a természetes számoknak meg lehet feleltetni az intervallum számait, így az intervallum számossága nagyobb.

> „minden elem A-ban megfeleltethető egy elemnek B-ben, következtetés:az elemszám egyezik.”

Ez így nem oké. Akkor lesz egyenlő az elemszám, ha még az is teljesül emellett, hogy „minden elem B-ben megfeleltethető egy elemnek A-ban”. Tehát amit leírtál, abból még csak az következik, hogy B számossága NAGYOBB VAGY EGYENLŐ, mint A-é. Lásd az legelső példámat (ott A számossága nagyobb).