Két konvex sokszög összes átlóinak száma 158, belső szögeinek összege 4320°. Hány oldalú a sokszög?

Alkalmazd a két ismert összefüggést:

n oldalú sokszög

- átlóinak száma: n*(n-3)/2

- belső szögeinek összege: (n-2)*180

legyen a két sokszög oldala n és m, így

n*(n-3)/2 + m*(m-3)/2 = 158

(n-2)*180 + (m-2)*180 = 4320

két egyenletből álló egyenletrendszer megoldása adja a választ, azaz 12 és 16 oldalú a sokszögeid.

vázlat a megoldásra:

(n-2)*180 + (m-2)*180 = 4320 /:180

(n-2) + (m-2) = 24

n + m = 28

n = 28-m (ezt helyettesítjük vissza a másik egyenletbe)

n*(n-3)/2 + m*(m-3)/2 = 158 /*2

n*(n-3) + m*(m-3) = 316

n^2-3n + m^2-3m = 316

visszahelyettesítés után:

(28-m)^2-3(28-m) + m^2-3m = 316

784-56m+m^2-84+3m-m^2-3m = 316

összevonva, átrendezve:

m^2-28m+192=0

másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldva:

m=16 és m=12

ezeket visszahelyettesítve n=27-m-me kapjuk:

n=12 és n=16

^ ez a hatványozás jele, azaz pl.:

3 a 5-en 3^5 (3*3*3*3*3)

n a négyzeten (másodikon): n^2