Mekkora egy négyzetbe zárt kör (ami érinti a négyzet oldalait, tehát átmérője ugyanakkora mint amekkora a négyzet egyik oldala) területük/térfogatuk aránya és egy kockába zárt gömbé?

2D: pi*r^2 / (2r)^2 = pi/4

3D: (4*pi*r^3)/3 / (2r)^3 = pi/6

fordítva:

2D: (2r)^2 / pi*(r/gyök2)^2 = 2/pi

3D: (2r)^3 / (4*pi*(r/gyök3)^3)/3 = 2/(pi*gyök3)

Négyzet területe: a^2 (oldal hosszúsága a négyzeten)

Kör területe: pi*r^2 (sugár négyzete szorozva pivel)

Kocka térfogata: a^3 (él hosszúsága a köbön)

Gömb térfogata: (4*pi*r^3)/3 (sugár a köbön szorozva 4pivel és osztva hárommal)

Négyzetbe/kockába zárt kör/gömb esetében 2r=a

Tehát négyzet és kör esetében:

pi*r^2/(2r)^2=(pi*r^2)/4*r^2=pi/4

Tehát ha a négyzet területe 1, akkor a köré pi/4 (kb 0,79)

Kocka és gömb:

[(4*pi*r^3)/3]/[(2r)^3]=(4*pi*r^3)/(3*8*r^3)=4pi/24=pi/6

Tehát ha a kocka térfogata 1, akkor a gömbé pi/6 (kb 0,52)

Kimaradt a fordított eset, amikor a körbe/gömbbe írjuk a négyzetet/kockát :)

Ebben az esetben a=2^0,5·r (négyzetgyök kettő szorozva r)

Már csak be kell helyettesítened az előző képletekbe és meg is vagy...

Négyzetbe zárt kör esetében a sugár megegyezik a négyzet oldalának felével(átmérő az egész oldal hosszával).

Míg négyzet köré írható kör esetén-ahol a négyzet szögeit érinti a kör- ott a négyzet átlójának fele egyenlő a kör sugarával(átmérője az egész átlóval).Tehát ha a négyzet oldala x,akkor a négyzetbe írt kör sugara x/2.

A négyzet köré írható kör sugara:

gyök alatt{2szer(x a négyzeten)}

"A négyzet köré írható kör sugara:

gyök alatt{2szer(x a négyzeten)}"

Biztos vagy benne?

Nem inkább r=a/2^0,5 (oldal hossza osztva négyzetgyök kettővel)?

Igen. Szóval a sugár megegyezik az átló felével.Ezért az A oldal felének négyzete + az A oldal felének négyzete= átló felének négyzete.(Pitagorsz)Ennek a gyöke,pedig az átló fele vagyis a sugár.

Vagy egyszerűbben átmérő= gyök alatt(2szer Anégyzet)

első vagyok, elkúrtam a fordítottat (viszont poén, hogy attól függetlenül, hogy rosszul írtam fel, jó végeredményt számoltam, mert fejben tudtam hogy mit kell):

"fordítva:

2D: (2r)^2 / pi*(r/gyök2)^2 = 2/pi

3D: (2r)^3 / (4*pi*(r/gyök3)^3)/3 = 2/(pi*gyök3)

"

Eredetileg jó lett volna, csak fel is cseréltem a kettőt, hogy a kisebb legyen a számlálóban. gyök2 az mivel kb. 1.41, a vele való szorzás növel, osztás csökkent.

2D: (2r)^2 / pi*(r*gyök2)^2 = 2/pi

3D: (2r)^3 / (4*pi*(r*gyök3)^3)/3 = 2/(pi*gyök3)

A másik, hogy a kocka testátlója viszont nem gyök2-szerese az alapnak, hanem gyök3-szorosa. Ezt jól írtam, csak hát itt is szorozni kellett volna.

Szerintem ezt egy magára valamit adó középiskolás "érthető nyelvnek" veszi, ugyanis 4 darab képletet szerintem azért fel lehet ismerni (kör, négyzet területe, gömb, kocka térfogata). Azt meg reméltem, hogy pl egy 2/pi elég érthető végeredmény lesz.