Lenne itt 1 kis matek feladat ( fontos )?

Egy gazda az ,,A'' tanyán lakik, és ,,B'' községban lakó rokonához akarja vinni a szamarát. Útközben érinteni akarja az ,,l'' folyót is, hogy a szamarat megitathassa. A lehető legrövidebb úton akar menni, persze úgy, hogy A-ból B-be jusson és l-et is érintse.

Képzeletben helyezzünk el a folyó mentén egy óriási nagy tükröt, és így képzeljük el az egész jelenetet.

A gazda elindul a szamárral A-ból, valamilyen kacskaringós úton elér a folyóhoz, ott itat, majd az itatási pontból továbbmegy B-ig.

Ugyanezalatt az idő alatt ,,a tükör túloldalán'', Alice csodaországában, az A tanya tükörképéből, egy képzeletbeli A' ,,tükörtanyáról'' is elindul egy tükörkép-gazda, egy tükörkép-szamárral. Ők is eljutnak valamilyen kacskaringós úton a folyóig, ugyanaddig a pontog, ahol az igazi gazda itat. A gazda/szamár az itatási pontban találkozik is a tükörgazda/tüköorszamárral, itt ténylegesen ,,látják is egymást''. Majd a tükörgazda és a tükörszamár, továbbra is a tükör túloldalán maradva, továbbmegy, és eljutnak a B község képzeletbeli tükörképéig, B' tükörkép-községbe.

A tükörlények mindvégig tükrösen mozognak az igaziakkal, szóval mozgásuk tengelyesen szimmetrikus az l folyóra.

Miben segít ez az egész nekünk? Hiszen a kérdés az volt, hogyan lehetne elérni, hogy szegény szamár minél kevesebbet fáradjon.

Képzeljük el, hogy az itatási pontban (ahol a tükörlények és az igaziak találkoztak), ott a ravasz szamár titokban a gazda háta mögött helyett cserélt a tükörszamárral, remélve, hogy így esetleg kevesebbet kell majd fáradnia. Ebben pesze bégülis csalódnia kell majd: a tükörszamárnak mindig is ugyanannyit kell kutyagolnia, mint az igazinak, hiszen teljesen ugyanolyan alakú és nagyságú pályán mozognak mindketten mindvégig. Tehát a két szamár közül egyik sem nyer semmit azzal, hogy a ,,közös'' itatóhelyen gazdáik tudta nélkül ravaszul helyet cseréltek egymással.

De a helycserének mégiscsak volt valami haszna, csak nem a szamarak szempontjából, hanem a mi szempontunkból. Mert így most már meg tudjuk oldani a feladatot.

Milyen úton is gyalogol pontosan a ravasz szamár? Az ,,A'' tanyától a ,,közös'' itatóhelyig, onnan meg Alice csodaországába, a tüköt túloldalára belépve, ,,továbbmegy'' B' tükörkép-tanyáig.

Akkor haladna a szamár a lehető legrövidebb úton, ha útja éppen az ,,A'' IGAZI tanyát a B' TÜKÖRKÉP-községgel összekötő egyenes mentén húzódnék. Tehát ha az itatóhely éppen úgy lenne megválasztva, ahogy a folyót metszené az ,,A'' IGAZI tanyát a B' TÜKÖRKÉP-községgel összekötő egyenes.

Persze a valóságban a szamár nem tud helyet cserélni a tükörképével, ez csak mese. Az előző történet mégsem volt értéktelen, mert arra mégiscsak választ kaptunk, hogy hol is kell megválasztani a folyón az itatóhelyet. A gazda vegye elő otthon a térképet, szerkessze meg a térképen B községnek az l folyóra vett tükörképét, B'-t, jelölje is be a térképen, aztán kösse össze (az igazi) A-t a (tükrös) B'-vel, nézze meg, hogy az így kapott egyenes hol metsz bele az l folyóba, és tekintse úgy, hogy ez lesz az eszményi itatóhely, effelé kell törekednie, ha szamarát az A tanyáról a B községbe akarja vinni a lehető legrövidebb úton úgy, hogy itasson is valahol a folyón.

Szóval az eredetileg nehéznek tűnő feladat helyett megoldottunk egy másik, egyszerűbb feladatot, és a két feladat megoldásai között olyan kölcsönös megfeleltethetőséget vettünk észre, ami révén az egyszerűbb feladat megoldása ,,visszavetíthető'' volt az eredetileg kívánt megoldásba.

Találtam ábrát is:

[link]

és ezek közül az 1. feladat (2-3. diakocka).

Sajnos egy kicsit nagyobb tudásra és rálátásra lenne szükségem ahhoz, hogy a matematikai alapötletet teljes mélységében és szépségében magam is megértsem. Szóval igazából a fő ,,poént'' nem tudom kifejezni (főleg, mivel ez a feladat csak egy a sok hasonló közül, vannak ilyen jellegű feldatok a tükrözésen kivül még eltolásra, forgatásra, és mindenféle geometriai transzforávióra is).

Elmondom úgy, ahogy jelenlegi tudásom alapján képes vagyok rá:

Az A és a B pont közül az egyiket tükrözni kell tengelyesen az egyenesre (mondjuk a B-t), és összekötni a B így nyert B' tükörképét a tükrözetlenül hagyott ponttal (vagyis jelen esetben az A-val).

Az így nyert A - B' egyenes metszi valamilyen M metszéspontban az l egyenest.

Azt biztosan tudjuk, hogy az A és B' közti legrövidebb utat éppen az A - B' egyenes adja. Hiszen azt a tényt ismertnek tételezzük fel, hogy két pont közti legrövidebb út az egyenes (mármint akkorm ha nincs egyéb megkötés).

Mivel az M pontot szándékosan úgy választottuk meg, hogy rajta legyen az A - B' egyenesen (hisz M éppen A-B' és l metszéspontja), ezért az A - M - B' töröttvonal teljesen egy egyenesbe esik, tulajdonképpen nem is ,,törött''vonal, hanem ő maga egyetlen A-B' szakasz.

Ennek persze még nincs közvetlen köze az eredeti kérdéshez. Hát én most azt mondom, hogy az A - M - B töröttvonal (figyelem, NEM az A - M - B' töröttvonal!), szóval az az A - M - B töröttvonal adja a választ a feladat eredeti kérdésére.

Hogyan lehetne bebizonyítani, hogy tényleg ez a legrövidebb?

Például, ha valaki -- egy kételkedő -- rábökne a kezével az l egyenesre, ott M helyett mondjuk valami más pontot jelölne ki (nevezzük N-nek), és azt mondaná, hogy márpedig szerinte az ő N pontja optimálisabb választás, mint a mi M választásunk, vagyis az A - N - B töröttvonal összhosszúsága rövidebb, mint az általunk javasolt A - M - B töröttvonalé, akkor mi igen könnyen meg tudjuk cáfolni a kételkedő állítását, és meg tudjuk védeni a saját, M-re alapozó megoldásunkat.

Rajzoljuk meg az A - N - B' töröttvonalat. Ez igazi töröttvonal lesz, nem esik egy egyenesbe, hiszen az l egyenesnek csak az M pontja volt az, ami az A - B' egyenessel közös volt (metszéspont), tehát az l egyenesnek minden más pontja szükségszerűen idegen lesz az A - B' egyenestől. Az A - N - B' töröttvonal tehát szükségszerűen valódi TÖRÖTTvonal lesz, nem esik egy egyenesbe. Ezt el kell ismernie a kételkedőnek is.

Mivel a kételkedő is tudja, hogy két pont között a legrövidebb út az egyenes, ezért azt is kénytelen lesz elismerni, hogy az A - N - B' töröttvonal nem lehet minimális út az A és a B' pont között, és például éppen az A - M - B' töröttvonal útja rövidebb nála.

Ha már idáig eljutottunk a vitában, most már nincs sok hátra. Az eredeti kérdés ugyebár az A és a B közti minimális út (ahol az l-et is érinteni kell). Mi azt mondtuk, hogy ez az A - M - B út. A kételkedő azt mondta, hogy szerinte meg az A - N - B út.

Minekünk már csak azt kell megmutatnunk, hogy

1)

az A - M - B töröttvonal összhossza egyenlő az A - M - B' töröttvonal összhosszával (hiszen az A - M szakasz közös a két töröttvonalnál, M-B szakasz pedig ugyanolyan hosszú, mint az M-B' szakasz, hiszen éppen egymás tengelyes tükörképei l egyenesre mint tengelyre nézve)

2)

az A - N - B töröttvonal összhosza egyenlő az A - N - B' töröttvonal összhosszával (hiszen az A-N szakasz közös a két töröttvonalnál, N-B szakasz pedig ugyanolyan hosszú, mint az N-B' szakasz, hiszen éppen egymás tengelyes tükörképei l egyenesre mint tengelyre nézve)

Mivel a kételkedő elismerte még korábban, hogy az A-M-B' ,,töröttvonal'' (valójában egy egyenesbe eső szakasz) rövidebb, mint az A-N-B' (valódi) töröttvonal, ezért immár azt is el kell ismernie, hogy akkor az (A-M-B'-vel egyenlő összhosszúságú) A-M-B töröttvonalnak is szükségszerűen rövidebb kell lennie, mint az (A-M-B'-vel egyenlő összhosszúságú) A-N-B töröttvonalnak.

Tehát végül el kell ismerni azt is, hogy az őáltala javasolt A-N-B töröttvonal összhossza nagyobb, mint a miáltalunk javasolt A-M-B töröttvonal összhossza. Vagyis az általunk M-nél optimálisabb eredményt nyújtó pontot kijelölni az l egyenesen nem lehet.

Az érvelés még nem teljes: két dolgot még meg kell említeni, gondolni.

Egyrészt az, hogy mi az érvelés során sehol sem használtuk fel a kételkedő által javasolt N pont egyetlen különleges tulajdonságát sem. Csak annyit használtunk fel, hogy az N pont különbözik a miáltalunk javasolt M ponttól. Tehát a mi érvelésünk nemcsak ezt az egy N pontot zárja ki mint nem-optimális megoldást, hanem minden lehetséges N pontot, ami csak különbözik a mi általunk megszerkeszett M ponttól.

A másik hiány még az érvelésben, hogy nem beszéltem arról, hogy én csak az A-N-B jellegű töröttvonalakat zártam ki, de arról semmit nem mondtam, hogy ugyan miért is ne lehetne valami ügyes girbegurba, esetleg sokszoroan törött utakkal még jobb megoldást adni, mint az A-M-B töröttvonal. Azonban azt sejtem, hogy a lényeg megvan, az ilyen kisebb maradék diszkussziókat már viszonylag könnyen meg lehet tenni.