|x+2|-|x|>1?

Három részre kell szétválasztani

1.

-végtelen és -2 intervallumban:

-x-2+x>1

Ebből ellentmondás jön ki.

2.

-2 és 0 intervallum:

x+2+x>1

Ebből x>1/2.

3.

0 és + végtelen int.:

x+2-x>1

Ebből nem tudom mi jön ki (azonosság, ellentmondás vagy konstans 2).

Az abszolút értékes egyenlőtlenségek megoldására több módszer is van. Az egyszerűbbeket meg lehet oldani grafikus módon könnyebben, de az összetettebbeknél a több esetre bontás biztosabb módszer. A lényeg, hogy eltüntessük az abszolút értéket az egyenlőtlenségből. Ha az abszolút értéken belüli kifejezés értéke pozitív, akkor elhagyhatjuk az abszolút értéket. Ha a kifejezés értéke negatív akkor zárójelbe tesszük és megszorozzuk -1-el. Például |x + 2| esetén legyen x = -5. Ekkor x+2 negatív(=-3). Tehát hagyjuk el az abszolút értéket , írjunk zárójelet a helyére és szorozzuk -1-el: -(x + 2) = -(-5 + 2) = -(-3) = 3. És az abszolútérték fogalma szerint: |x + 2| = |-5 + 2| = |-3| = 3. Látható, hogy a kettő megegyezik. Ugyanígy kell esetekre bontani az abszolút értékben lévő kifejezéseket, negatív és pozitív érték szerint.

Először bontsuk szét az |x + 2|-t:

1. x + 2 < 0

x < - 2

Tehát x < -2 esetén x + 2 értéke negatív lesz, ami azt jelenti, hogy zárójel és -1-szeres szorzó.

A kifejezés értéke: -(x+2); [x < -2 esetén].

2. x + 2 >= 0

x >= -2

Tehát x >= -2 esetén x + 2 értéke pozitív lesz, elhagyhatjuk az abszolút értéket.

A kifejezés értéke (x + 2); [x >= -2 esetén]

Most bontsuk szét az |x|-t:

1. x < 0

Zárójel és -1-szeres szorzó.

A kifejezés értéke -(x); [x < 0 esetén].

2. x > 0

Elhagyhatjuk az abszolút értéket.

A kifejezés értéke (x); [x > 0 esetén]

Most van négy esetünk. Rajzolj fel egy számegyenest és rajzold be az intervallumokat.

1. balról -2-ig

2. -2-től jobbra

3. 0-tól balra

4. 0-tól jobbra

Ha felrajzoltad látszik, hogy a számegyenesen három intervallum van amit meg kell vizsgálni.

1. -2-től balra

2. -2 és 0 között

3. 0-tól jobbra

Nézzük:

1. x < -2

Ekkor |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2.

|x| = -(x) = -x.

Tehát - x - 2 - (-x) > 1.

-2 > 1, ez ellentmondás, ezen az intervallumon nincs megoldás.

2. -2 <= x < 0

Ekkor |x + 2| = x + 2 és |x| = -(x) = -x.

x + 2 - (-x) > 1

2x > -1

x > -1/2

Tehát -2 <= x < 0 intervallumban x > -1/2 a megoldás.

3. x > 0

|x + 2| = x + 2 és |x| = x.

x + 2 - x > 1

2 > 1, azonosság, tehát x > 0 esetén az egyenlőtlenség mindig teljesül, igaz.

Remélem segített.