Hogyan kell jellemezni egy függvényt?

Értelmezési tartomány: az az intervallum(unió), amelynek tetszőleges elemét beírva x helyére a függvény valós értéket ad ki. Ez az x^2+5 esetén tetszőleges valós számot írhatunk x helyére, ezért az értelmezési tartománya R, vagyis a valós számok halmaza, intervallummal a (-végtelen;végtelen) intervallum.

Értékkészlet: milyen értékeket vehet fel a függvény, miután x helyére beírtuk a számot. Ehhez sok esetben felírható paraméteres egyenlet, amit x-re kell rendeznünk:

x^2+5=c /-5

x^2=c-5 /gyökvonás

x=+-gyök(c-5)

Most az a kérdés, hogy +-gyök(c-5)-nek mi az értelmezési tartománya. Mivel csak nemnegatív szám lehet, ezért a következő egyenlőtlenségnek kell igaznak lennie:

c-5>=0 /+5

c>=5, tehát ha c legalább 5, akkor az eredeti egyenletnek is lesz megoldása, tehát a függvény értékkészlete az [5;végtelen) intervallum.

Zérushely: ahol a függvény értéke 0:

x^2+5=0 /-5

x^2=-5 /gyökvonás

x=+-gyök(-5), ami nem egy valós szám, ezért a függvénynek nincs zérushelye (nem mellesleg, az előbb megállapítottuk, hogy az értékkészlete az [5;végtelen) intervallum, aminek ugye nem eleme a 0, így nem is lehet zérushelye).

Szélsőérték: az az érték, aminél nagyobb vagy kisebb nincs; előbbi a maximum, utóbbi a minimum. Mivel a függvény értékkészlete az [5;végtelen) intervallum, ezért maximuma nincs, minimumának értéke 5, az a kérdés, hogy ezt az értéket hol veszi fel:

x^2+5=5 /-5

x^2=0 /gyökvonás

x=0, tehát a 0 helyen veszi fel a minimumát, aminek az értéke 5.

Még lehetne azt mondani, hogy a függvény páros, mivel az y-tengely a szimmetriatengelye.

Több szempont nem kell középiskolában.

Kimaradt a monotonitás. Ugyan általánosan deriválni kellene hozzá, aztán ábrázolni, középiskolában először ábrázoljuk a függvényt, aztán látjuk, hogy csökken-e vagy nő, és ezt melyik intervallumokon teszik;

Ha x a (-végtelen;0] intervallum eleme, akkor a függvény szigorúan monoton csökken.

Ha x a [0;végtelen) intervallum eleme, akkor szigorúan monoton nő.

A "szigorúság" azt jelenti, hogy az adott intervallumon minden értéket legfeljebb csak egyszer vesz fel.