Hogyan kell parciális törtek összegére bontani a következő törtet?

A parciális törtekre bontásnál először is a nevezőt kell a lehető legkisebb fokú tagok szorzatára bontani (valós számoknál ezek az elsőfokú és a negatív diszkriminánsú másodfokú polinomok). Ez a te példádban már megtörtént, ugyanis mindkét polinom diszkriminánsa negatív. Ezután fel kell írni a törteket paraméteresen, mégpedig az első fokúaknál a számlálóban egy konstans lesz paraméterként, a másodfokúaknál pedig két konstans ( A*x+B); a nevezőben pedig a tényezők lesznek. A konstansokat közös nevezőre vonással tudod meghatározni, ahol minden fokú tag szorzójának meg kell egyeznie az eredeti tört számlálójában lévő megfelelő fokú tag szorzójával. Konkrétan ebben a feladatban:

1/((x^2-2 x+2) (x^2+2 x+2)) = (A+b*x)/(x^2-2 x+2) + (c*x+D)/(x^2+2 x+2)

Ebből közös nevezőre vonással:

(A+B*x)*(x^2+2 x+2) + (C+D*x)*(x^2-2 x+2) =1

A*x^2 + 2*A*x + 2*A + B*x^3 + 2*B*x^2 + 2*B*x + C*x^2 -2*C*x + 2*C + D*x^3 - 2*D*x^2 + 2*D*x =1

x^3*(B+D) + x^2*(A+2*B+C-2*D) + x*(2*A+2*B-2*C+2*D) + 2*A+2*C = 1

Azaz

1. B+D=0 -> D= -B

2. A+2*B+C-2*D=0

3. 2*A+2*B-2*C+2*D=0

4. 2*A+2*C=1 -> C= 1/2 - A

Tehát a 2. egyenlet: A+2*B+1/2-A-2*(-B)=0

4*B+1/2=0 amiből B= -1/8 -> D=1/8

A 3. egyenletből: 2*A -1/4 -2*(1/2-A) +1/4 =0

Azaz: 4*A = 1 -> A=1/4 -> C=1/4

Tehát 1/((x^2-2 x+2) (x^2+2 x+2)) = (1/4-x*1/8)/(x^2-2 x+2) + (1/4+x*1/8)/(x^2-2 x+2)

Egyébként gyakra lehet "látni" is, hogy mit kell beírni, hogy közös nevezőre vonással kiessenek a tagok, de ehhez gyakorlat kell. A fenti módszer ugyan hosszadalmas, de bármilyen ronda törtnél működik, amíg a nevező foka kisebb a számlálóénál (ha nem kisebb, akkor is lehet olyan alakra hozni, hogy konstans + egy olyan tört ahol már kisebb).