Hogyan kell nra és nrf becslést adni az alábbi törtre?

A lényege a nagyságrendőrző becsléseknek az, hogy nagy x értékekre az aritmetikai kifejezés értékét a legnagyobb hatványkitevőjű tag határozza meg, tehát az érték becsülhető egy jóval egyszerűbb polinommal. Vagyis amit keresünk, az ez:

    m·xⁿ ≤ f(x) ≤ M·xⁿ        minden x≥R esetén

Keressük n, m, M és R értékét. (Mindegyik pozitív.)

m·xⁿ az NRA becslés (nagyságrendőrző alsó becslés), M·xⁿ pedig az NRF (felső).

Tört esetében NRA becslést úgy kapunk, hogy a számlálónak megcsináljuk az NRA, a nevezőnek pedig az NRF becslését. Ha ugyanis a számláló tuti kisebb lesz, a nevező meg tuti nagyobb lesz, akkor a tört értéke tuti kisebb lesz.

NRF becslésnél pedig pont fordítva, a számlálónál NRF, a nevezőnél pedig NRA kell.

Most ezek a polinomok:

A számláló:

P₁(x) = 3x⁴ + 2x³ + 5x² + 7x + 6

Alsó becslésnél a pozitív együtthatós tagokat (a legnagyobb kitevőjű kivételével) el lehet hagyni, azzal ugyanis csökkentjük az értéket akkor, ha x ≥ 1. Vagyis R=1 esetén ez egy becslés:

3x⁴ ≤ P₁(x)

Most ezzel az NRA becslés kész is van.

Felső becsléshez először elhagyhatjuk a negatív együtthatós tagokat, hisz ezzel x≥1 esetén növeljük a polinom értékét. Most negatívak nincsenek. A második lépésben pedig minden tag kitevőjét a legnagyobb kitevőre változtathatjuk, hisz olyankor is nagyobb lesz a kifejezés értéke, megint csak x ≥ 1, vagyis R=1 esetén.

P₁(x) ≤ 3x⁴ + 2x⁴ + 5x⁴ + 7x⁴ + 6x⁴ = 23x⁴

Ez tehát az NRF becslés R=1-gyel.

(Ezt lehetett gondolkodás nélkül csinálni, bambán minden tagból x⁴-t csináltunk, de ezzel persze baromira felülbecsültük a polinom értékét. Ha R=1 helyett nagyobb értéket választunk, mondjuk R=2 esetén már 2x³ becsülhető úgy is, hogy 1·x⁴, és ez máris szorosabb becslés, mint az előző 2·x⁴. De egyszerűbb gondolkodás nélkül csinálni, ahogy fentebb van.)

A nevező:

P₂(x) = 5x² - 3x - 10

Most csináljunk először felső becslést (mert az most az egyszerűbb). Ahhoz elhagyhatjuk a negatív tagokat, mivel x≥1 esetén így nagyobb értéket kapunk:

P₂(x) ≥ 5x², ha R=1

Alsó becslés: Először a pozitív tagokat hagyhatnánk el, de azok most nincsenek (persze a legnagyobb kitevőjűt nem hagyhatjuk el!) Marad tehát minden, de érdemes bezárójelezni:

P₂(x) = 5x² - (3x + 10)

Most ebből a 3x+10-ből csináljunk felső becslést: 3x + 10x = 13x (továbbra is R=1). Ha ezt vonjuk ki, akkor kisebb értékünk lesz:

P₂(x) ≥ 5x² - 13x

Na most az 5x²-et osszuk két részre. Mondjuk 3x²+2x². Bárhogyan oszthatjuk, de úgy nagyjából felezni szoktuk. Ha máshogy osztjuk ketté, más lesz majd az R küszöbérték...

Szóval most ez lett:

P₂(x) ≥ 3x² + (2x² - 13x)

Na most elég nagy x-ekre a zárójeles érték már pozitív lesz:

2x² - 13x ≥ 0

2x - 13 ≥ 0

x ≥ 13/2

Szóval x ≥ 13/2 esetén, de ha nem akarunk törteket írni, akkor x≥7 esetén (tehát ha R=7) a zárójeles érték pozitív. Ha pedig pozitív, akkor elhagyva csökkentjük az értéket, tehát alsó becslésünk lesz:

P₂(x) ≥ 3x², ha R=7

Szóval összefoglalva, ezek lettek:

3x⁴ ≤ P₁(x) ≤ 23x⁴         ha R=1

5x² ≤ P₂(x) ≤ 2x²            ha R=7

A törtet tehát NRF számláló, NRA nevezővel tudjuk felülről becsülni, és fordítva alulról:

3x⁴/2x² ≤ f(x) ≤ 23x⁴/5x²    ha R=7

(a küszöbökből a nagyobbikat kell mindig választani, így lett R=7)

1,5x² ≤ f(x) ≤ 4,6x²       ha R=7