Valószínűségszámítás?

Nem tudom, tanultátok-e névvel is, ezt úgy hívják, hogy binomiális eloszlás. Ha nem tanultátok így, az se baj.

Nézzük a c) kérdést először:

Szóval 10-ből 5-ben van rossz mennyiség. (10 alatt 5) féleképpen jöhet ki az, hogy melyik 5 a rossz. A rosszaknak 0,05, a jóknak 0,95 a valószínűsége. Így a valószínűség ez lesz:

(10 alatt 5) · 0,05^5 · 0,95^5

b) Háromnál kevesebb: 0, 1 vagy 2 a rossz.

0: mind jó: 0,95^10

1: egy rossz: 10-féle lehet az, hogy melyik az az egy: 10·0,05·0,95^9

2: a 10-ből (10 alatt 2) féleképpen jöhet ki, hogy melyik kettő a rossz:

(10 alatt 12)·0,05^2·0,95^8

Ennek a háromnak az összege lesz a teljes valószínűség.

Megjegyzés:

Az 1-hez tartozó is írható úgy, hogy

(10 alatt 1) · 0,05^1 · 0,95^9

Sőt, a 0-hoz tartozó is:

(10 alatt 0) · 0,05^0 · 0,95^10

És akkor lehet a 0,1,2 összegét így is írni:

 2

 Σ (10 alatt k) · 0,05^k · 0,95^(10-k)

k=0

Jaj, megszaladt a billentyűzetem!!! Természetese nem (10 alatt 12), hanem ez a jó:

(10 alatt 2)·0,05^2·0,95^8

Azért, mert egymás után végezzük a méréseket, a sorrend nem mindegy. Mondjuk ha 3 ellenőrzés van, amiből 1 rossz, akkor annak a valószínűsége, hogy pont az első a rossz a többi meg jó, 0,05·0,95·0,95. De van olyan eset is, hogy a második vagy a harmadik a rossz, ugyanekkora valószínűséggel. Ezért az összesített valószínűség 3·0,05·0,95².

Ha nem egy rosszról van szó, hanem mondjuk 10 mérésnél 3 rosszról, akkor a sorrend ott jön be, hogy (10 alatt 3) módon állhat elő az, hogy melyik három mérés volt a rossz (a többi meg jó). Ebből bármelyik kombinációnak 0,05³·0,95⁷ az esélye, ezért az összesnek (10 alatt 3)·0,05³·0,95⁷