Az (a^n) mértani sorozatban a^1+a^3+a^5=63, a^2+a^4=30. Melyik ez a mértani sorozat? (mindegyik tagnál alsóindexben vannak a számok és a betű) Valaki tud nekem ebben segíteni?

Mindkét egyenletet úgy is fel lehet írni, hogy az a3-mal fejezed ki a többit:

a3/(q^2)+a3+a3*(q^2)=63

illetve

a3/q+a3*q=30

Mivel a3 nem lehet 0, így oszthatjuk az egyenleteket egymással, és egyszerűsíthetünk a3-mal:

[1/(q^2)+1+(q^2)]/[q+1/q]=63/30

rendezzük kicsit:

30*[1/(q^2)+1+(q^2)]=63*[q+1/q]

Most egy kis algebrai ismeret kell:

(q+1/q)^2=(q^2)+2+1/(q^2)

Bevezetve az y=q+1/q új ismeretlent:

30*[y^2-1]=63*y

ezt a másodfokú egyenletet megoldva:

y=2,5 vagy y=-0,4

Innen visszafejthetjük q-t:

q=2 vagy q=0,5; a második esetben nincs megoldás

most már a3 is meghatározható:

a3=12 (mindkét esetben)

Így a sorozat:

3; 6; 12; 24; 48 ill. fordítva