Legyen ABCD negyzet. P legyen egy pont a BC oldalon, Q a DC oldalon, megpedig ugy, hogy a PAQ szog 45 fok legyen. Hogyan lehet a PQ-ra merolegest szerkeszteni az A pontbol csak vonalzot hasznalva?

A feladatnak valószínűleg van egyszerűbb megoldása is annál, amit leírok. Viszont ez egy teljesen általános megoldás, ami nem használja ki, hogy PAQ 45 fokos. Ezzel a módszerrel a négyzet ismeretében minden más egyenesre csak vonalzó használatával merőlegest lehet szerkeszteni A-ból!

Szükségünk lesz egy szerkesztési alaplépésre:

ha adott egy XY szakasz és annak a Z felezőpontja, akkor tetszőleges további U ponton keresztül csak vonalzóval párhuzamost tudunk szerkeszteni XY-nak.

Ehhez felhasználjuk, hogy tetszőleges trapéz esetén a szárak metszéspontját az átlók metszéspontjával összekötő egyenes felezi az alapokat. (Ezt hasonlóság alkalmazásával nem nehéz belátni.)

Így legyen megadva X, Y, Z, U, ahol Z XY felezőpontja. Ekkor olyan trapézt szerkesztünk csak vonalzóval, amelynek XY az egyik alapja, Z ezen alap felezőpontja, U pedig egy további csúcs. Legyen YU a trapéz egyik átlója, ezen egy tetszőleges M pontot válasszunk az átlók metszéspontjának. Ekkor ZM és XU metszéspontja a szárak metszéspontja, ezt összekötve Y-al adódik a hiányzó szár, amit XM-el elmetszve kapjuk a trapéz negyedik V csúcsát. Így UV párhuzamos lesz XY-nal.

Rátérve a feladatra:

1. Legyen PQ és AB metszéspontja K, PQ és az AC átló metszéspontja L.

2. Szerkesszünk merőlegest K-n keresztül AC-re! (Ez lesz az AKL háromszög K-hoz tartozó magassága.)

Ezt megtehetjük: ugyanis az AC-re merőleges egyenesek BD-vel párhuzamosak, és ismerjük BD felezőpontját (az átlók metszéspontja). Így alkalmazhatjuk az "alaplépésünket".

3. Szerkesszünk merőlegest L-en keresztül AB-re! (Ez lesz az AKL háromszög L-hez tartozó magassága.)

Ez egy kicsit trükkösebb, mert most AD-vel kell párhuzamost húzni, de annak a felezőpontját nem ismerjük. Ezért az alaplépésünket használva először C-n keresztül szerkesszünk párhuzamost BD-vel (annak ismerjük a felezőpontját), és legyen ennek az AD-vel való metszéspontja D'. Ekkor D az AD' szakasz felezőpontja, így AD'-vel már tudunk párhuzamost szerkeszteni - ismét az alaplépést használva - L-en keresztül.

3. Az előbb szerkesztett két egyenes az AKL háromszög két magasságegyenese, így metszéspontjuk az AKL háromszög magasságpontja. Ezt A-val összekötve a KL=PQ egyenesre merőleges egyenest kapunk (hiszen a háromszög harmadik magassága is átmegy a magasságponton), pontosan ezt kellett megszerkesztenünk.

Ez persze inkább "elvi" szerkesztés, az "alaplépés" sokszori alkalmazása miatt a gyakorlati kivitelezés nem a legrövidebb. :)

Kipróbáltam a Geogebrával, és úgy látom, hogy jó a szerkesztésed. Ez így valóban nagyon egyszerű; már "csak" valami egyszerű bizonyítást kéne kitalálni rá, hogy működik. :)

Nekem leghamarabb este van időm gondolkodni a bizonyításon; ha addig nem sikerül, akkor visszatérek a kérdésre.

Itt az egyszerű indoklás az egyszerű szerkesztésre, az előző hozzászólásod jelöléseit használom.

A PN szakasz az A és B csúcsokból is 45 fokos szögben látszik, ezért PNAB húrnégyszög. Így a szemközti szögeinek összege 180 fok, és mivel B-nél derékszög van, N-nél is derékszög kell, hogy legyen. Tehát PN merőleges AQ-ra, vagyis PN az APQ háromszög P-hez tartozó magassága.

Teljesen hasonlóan látható be, hogy QM merőleges AP-re, tehát QM az APQ háromszög Q-hoz tartozó magassága. (Ehhez az AMQD húrnégyszöget kell felhasználni.)

Így PN és QM metszéspontja az APQ háromszög magasságpontja, tehát ezt A-val összekötve megkapjuk a harmadik magasságegyenest.