Trigonometrikus egyenletrendszer megoldás?

Add össze a két egyenletet:

sin²x + cos²x + cos²y − sin²y = 2

És most ezeknek ismerősöknek kell lenni:

sin²x + cos²x = 1

cos²y − sin²y = cos 2x

Innen már ugye tudod folytatni?

Bocs, természetesen cos 2y, nem pedig cos 2x.

Ha gondolod, írd meg, mire jutottál, leellenőrzöm.

Nem cos²y lesz belőle, hanem cos(2y).

Ezeket az összefüggéseket be kell magolni, egyébként a dogánál bajod lesz:

sin²x + cos²x = 1

sin(2x) = 2 · sin x · cos x

cos(2x) = cos²x − sin²x

Van még több is, de legalább ennyit muszáj tudni fejből.

Szóval most itt tartottál:

1 + cos 2y = 2

cos 2y = 1

Vagyis valaminek a koszinusza 1. Ez pedig a nulla lehet, meg 360 fokonként (2π-nként) minden egyéb:

2y = 0 + k·2π

ahol k tetszőleges egész szám.

Azt, hogy miért kell hozzáadni 360° (2π) többszöröseit, azt remélem érted.

Most már csak osztani kell 2-vel, hogy kijöjjön az y:

y = 0 + k·π

(Az előbb hozzáadott k·2π is felezve lett persze!!)

Ha idáig meg tudod csinálni, arra már jár néhány pont. A folytatáshoz már jobban kell koncentrálnod.

Ha megvan y, akkor helyettesítsük be mondjuk az első egyenletbe:

sin²x + cos²(0+kπ) = 3/2

a) Ha k páros (pl. 0, 2, stb), akkor cos 0=1, cos 2π=1, stb., mindegyik egy lesz:

sin²x + 1 = 3/2

sin²x = 1/2

sin x vagy 1/√2, vagy -1/√2

aa) sin x = 1/√2

Ez 60 foknak valamint 120 foknak a szinusza. Ha felrajzolod a szinuszgörbét, akkor látszik. Persze megint 360 fokonkénti periódussal is kijön ez szinuszként, vagyis

x1 = 60° + n·360°

x2 = 120° + n·360°

(Az y-nál volt k a periódusra, most az x-nél n-nek nevezem)

Ha eddig radiánban írtuk a szöget, most is jobb lenne abban, át is írom:

x1 = π/3 + n·2π

x2 = 2π/3 + n·2π

ab) sin x = −1/√2

Ez is két esetben áll fenn:

x3 = −π/3 + n·2π

x4 = −2π/3 + n·2π

b) Ha k páratlan (pl. 1, 3, stb), akkor cos π=−1, cos 3π=−1, stb., mindegyik mínusz egy lesz. Annak a négyzete is plusz 1, szóval ebből is ez az egyenlet jön ki:

sin²x + 1 = 3/2

Ez ugyanaz, mint az a) eset, tehát nem lesz többféle megoldás.

Vagyis 4-féle megoldása lett.