Egy félkörbe két olyan négyzetet rajzoltunk, aminek egyik oldala az átmérőn van. Az egyik négyzet két csúcsa, a másik négyzet egy csúcsa a körvonalra esik, és a két négyzet nem fedi egymást. Legalább hányszorosa a nagy négyzet területe a kicsiének?

Az első négyzet helyzete és mérete adott.

A megfelelő ábrában a négyzet egyik csúcsához berajzolva a kör R sugarát, egy derékszögű háromszöget kapsz, aminek befogói d ill. d/2 hosszúak. (d a négyzet oldalhossza)

Innen Pitagorasz-tétellel kapható: d^2=4R/5.

(Nem érdemes négyzetgyököt vonni, ez maga a négyzet területe.)

A másik négyzet akkor a legnagyobb, ha egyik oldal érintkezik az első négyzet oldalával. Most ennek az egyik csúcsához behúzható a kör sugara. Ekkor szintén kapunk egy R átfogójú derékszögű háromszöget, aminek befogói: x, ill. x+d/2. (x a kis négyzet oldalhossza)

Ismét egy Pithagorasz-tétellel: R^2=x^2+(x+d/2)^2

Kicsit macerás, de másodfokú egyenlettel kifejezhető az x: x=R*(gyök5-1)/(2gyök5)

Innen pedig a területek aránya: d^2/x^2=...=8/(gyök5-1)

Ennek értéke kb. 6,47.

Ha

T - a nagyobbik

t - a kisebbik

négyzet területe, akkor

T/t = 4

Remélem jól értelmeztem a kiírást, akkor a következő ábrán látható elrendezés a feladat:

[link]

Minden számolás nélkül látható a megoldás.

Ha az OPD derékszögű háromszöget jobbra 90 fokkal elfordítod, akkor az OEF háromszöget kapod.

Ez utóbbinak az OE oldala egyenlő a nagyobbik négyzet oldalával, így a kis négyzet oldala:

b = a/2

Akinek számolni van kedve, az

(a/2)² + a² = R²

(a/2 + b)² + b² = R²

egyenletrendszert megoldva a fenti eredményre jut.

DeeDee

**********

Hopp, valóban jól félreszámoltam, pedig ugyanazt az egyenletrendszert próbáltam megoldani, mint itt fent írta Dee. Valóban 4 az eredmény!

Annyit kéne az ábrához hozzátenni, hogy (a látszaton kívül) mi igazolja a két háromszög egybevágóságát:

Mindkettőben van derékszög, mindkettőben a derékszöggel szemközti oldal sugárnyi. De kéne még egy szög, vagy oldal egyenlősége! Biztos egyenlők, de honnan következik?

Az OPD háromszög forgatással kerülhet új pozíciójába, közben sem az oldalai, sem a szögei nem változtak.

DeeDee

*******