Segítene valaki ebben a példában?

Az összes eset:

Ha két szám összegére kellene bontani a k számot:

Bármit is választunk első számként, a második már csak egyféle lehet. Elsőként pedig 1-től kezdve teljesen k−1-ig bármilyen egészet választhatunk.

Vagyis ha S(k,2)-nek nevezzük azt, hogy hányféleképpen lehet 2 szám összegeként felírni k-t, ezt kapjuk:

S(k,2) = k-1

Most nézzük a három szám összegére bontást, amit S(k,3)-nak jelölök:

Ha elsőnek választom az i számot, akkor marad még k−i. Azt pedig S(k−i, 2) féleképpen bonthatom fel.

Elsőként 1-től k−2-ig bármit választhatok, tehát

S(k, 3) = (i = 1 .. k−2) Σ S(k−i, 2)

S(k, 3) = (i = 1 .. k−2) Σ (k−i−1)

kifejtve:

S(k, 3) = (k−2) + (k−3) + (k−4) + ... + 3 + 2 + 1

S(k, 3) = (k−2)(k−1)/2

Vagyis az összes eset: S(83, 3) = 81·82/2

Kedvező esetek:

Teljesülni kell a háromszög-egyenlőtlenségnek, vagyis a két kisebbik szám összege nagyobb kell legyen a legnagyobb számnál.

Keressünk szabályosságot:

Az biztos, hogy a legnagyobb szám maximum 41 lehet, ekkor lesz ugyanis utoljára a másik kettő összege nagyobb nála. Más szabályra nincs is szükség, de hogy ezt belássa az ember, érdemes megnézni a lehetőségeket:

Ha az első szám 1, akkor egyetlen lehetőség van:

1, 41, 41

Ha az első szám 2, akkor kettő is van:

2, 41, 40

2, 40, 41

Ha az első 3:

3, 41, 39

3, 40, 40

3, 39, 41

Ha az első 4:

4, 41, 38

4, 40, 39

4, 39, 40

4, 38, 41

Már látszik a szabály. Nézzük, amikor az első szám nagy:

40, 41, 2

40, 40, 3

40, 39, 4

40, 38, 5

...

40, 2, 41

Ha pedig 41, az is ugyanúgy megy:

41, 41, 1

41, 40, 2

41, 39, 3

...

41, 1, 41

Más nem lehet.

Vagyis a kedvező esetek száma: (i=1 .. 41) Σ i = 41·42/2

A keresett valószínűség:

(41·42/2)/(81·82/2) = 42/(81·2) = 7/27

Mot tanultam BKRS egy válaszából egy egyszerűbb módszert az összegre bontás lehetséges számáról:

Tegyünk egymás mellé gondolatban 83 golyót. Lesz közte 82 hézag. Ha ezek közül kettőbe beállítunk egy lapot, akkor máris 3 szám összegére bontottuk a 83-at. 82-ből kettőt pedig (82 alatt 2) féleképpen választhatunk ki, ennyiféleképpen lehet tehát felbontani.

Ez persze ugyanaz, mint amit én bonyolultabban kiszámoltam: 82·81/2

A háromszög-egyenlőtlenségre is van egyszerűbb számolás: (szintén BKRS ötlete)

Azoknak az eseteknek a száma, amikor NEM lehet háromszöget csinálni:

Az egyik oldal legalább 42 hosszú, akkor a másik kettő összege max 41. 42=41+1, tehát:

- tegyünk félre 41-et

- a maradék 42-t osszuk szét 3 szám összegére: (41 alatt 2) lehetőség

- adjuk vissza a félretett 41-et a három szám bármelyikéhez, ezáltal az legalább 42 lesz.

Az utolsó lépés megháromszorozza az esetek számát, mert választhatunk, hogy melyikhez adjuk oda a 3 közül, tehát 3·(41 alatt 2) esetben NEM szerkeszthető háromszög.

Ennyiszer szerkeszthető:

(82 alatt 2) − 3·(41 alatt 2)

Szerencsére ez is ugyanannyi, mint amit eredetileg számoltam: 41·42/2 :)