Mekkora az arány?

Legyen

k = a/b - a négyzetoldalak aránya

q = x/(a - x) = ? - a belső négyzet csúcsa által felosztott négyzetoldal részeinek aránya.

Lásd a rajzot:

[link]

A belső négyzet oldala a Pithagorasz tétellel

b = √[x² + (a - x)²]

Az (a - x) - et kiemelve

b = (a - x)²√{[x/(a - x)]² + 1}

A gyök alatti első tag = q, így

b = (a - x)√(q² + 1)

Az első tényezőből a-t kiemelve

b = a(1 - x/a)√(q² + 1)

A q definíciójából

x/a = q/(1 + q)

Ezt behelyettesítve a 'b' képletébe

b = a*√(q² + 1)/(q + 1)

Ezzel a négyzetoldalak aránya

k = (q + 1)/√(q² + 1)

Ezt az összefüggést felbontva, rendezve a

q²(k² - 1) - 2q + (k² - 1) = 0

másodfokú egyenlet adódik

Ennek a gyökei

q1,2 = [1 ± k√(2 - k²)]/(k² - 1)

q1 = [1 + k√(2 - k²)]/(k² - 1)

q2 = [1 - k√(2 - k²)]/(k² - 1)

A két gyök egyébként egymás reciproka.

DeeDee

***********

Elnézést!

Teljesen másként fogtam fel a feladatot, mint DeeDee.

Ha valóban adott k értékhez tartozó arányt kell meghatározni, akkor az én dinamikus ábrám csak a feladat elképzeléséhez és a megoldás ellenőrzéséhez használható.

Jó lenne tudni, hol, milyen témakörnél szerepelt a kérdés.

Azért megmutatom, mit csináltam:

[link]