Mi a határérték számítás? Matek

nagyon egyszerű abszolutérték a szám nullától való távolsága

van minusz és plusz például 7 abszolutértéke -7

Hatarertek szamitassal megtudod mondani egy sorozatrol vagy egy fuggvenyrol, hogy mi tortenik vele "kritikus" pontokba.

pl ha van az a(n)=n^2-5 sorozatot es ha az n tart a vegtelenbe akkor a sorozat is tart a vegtelenbe. Magyarul ha n helyett beraksz vegtelelnt akkor azt kell megmond h mennyi lesz a vegeredmeny. Ha a sorozatod ugy nez ki h (2n^2-3n+2)/n^4 es ennek kell hatarerteket szamolj akkor berakod az n helyett a vegtelent. Itt 0-at kapsz eredmenyul mert a oo a negyediken sokkal "nagyobb" mint a oo a masodikon. De ezt szepen ugy lehet levezetni, hogy kiemelsz eroltetve egy n^2-t a szamlalobol es a nevezobol es egyszerusitel vele es marad (2-3/n+2/n^2)/n^2 es mivel tudjuk h egy valos szam/oo az 0 ezert a sorozat is 0. De nem feltetlenul kell mindig oo-ben szamolni hatarerteket. Pl ha van az a fuggvenyed h f(x)=1/x es kerik a hatarerteket 0-be akkor itt ket hatarerteket is kell szamolj, jobbrol es balrol is. Elso esetben -0-ban nezed a fuggvenyt akkor azt kapod h 1/-0=-oo utana meg nezed + 0-ba is akkor meg lesz 1/+0=+oo. Mivel a ket hatarertek nem egyezik ezert a fg ertelmetlen a 0 pontban. Nagyon konnyu a hatarertek szamitas csak kell szeretni hozza a matekot, illetve sok feladatot kell megoldani:) Ennel csak sokkal nehezebbeket fogsz kapni, szal probald nem elvesziteni a fonalat a legelejen mert ugy nehez lesz

A határérték számítás (limesz) arra szolgál, hogy ... Itt bővebben:

[link]

Pl. egy tipikus és ismert határérték az „e“ (Euler féle szám) értéke. Ezt így írjuk le:

lim (1+1/n)ⁿ = e = 2,718.281.828.459....

n→∞

Ez azt jelenti, hogy ahogy az „n“ mind jobban közeledik a végtelenhez, úgy közeledik az „e“ értékéhez az (1+1/n)ⁿ értéke. A probléma ott van, hogy az „e“ értékét nem tudjuk egyszerűen úgy kiszámítani, hogy az „n“ helyébe végtelen értéket teszünk, mert nem tudunk így ezen a módon rendes számítást elvégezni. Itt jön segítségül a határérték számítás tudománya, ami lehetővé teszi, hogy ilyen esetekben is megkapjuk a szükséges eredményt.

[link]

Ennyit bevezetőnek.

Egy a(n) [n=1; 2; ...] sorozat határértéke A, ha bármilyen kicsi epszilonhoz található egy K szám, hogy minden a(n>K) esetén

a(n)-A abszolút értéke epszilonnál kisebb.

Achillesz utol akarja érni a teknősbékát.

Mire odaér, ahol a teknősbéka az ő kiindulási helyzetében volt, addigra a teknősbéka már elmászott onnan.

Mire Achillesz erre a helyre ér, a teknősbéka már megint nincs ott.

S.í.t. a végtelenségig.

Ezek szerint Achillesz sohasem érheti utol a teknősbékát?

Dehogynem, mert a szakaszok és az időtartamok egyre rövidülnek, és az összegük annyi lesz, mint amennyit a fizika órán a kezdeti távolságuk és sebességük alapján kiszámolsz.

A határérték számításhoz ami talán a legfontosabb tudnivaló (L’Hospital-szabály):

[link]

Egy példa:

lim (e²ˣ – 1)/(x³ + 6•x)

x→0

Ha behelyettesítjük az „n“ helyébe a ∞ értéket, akkor a számlálóban is nulla jön ki, meg a nevezően is, vagyis: 0/0 = ? Ennek így nincs értelme, ezért ezt így számoljuk (L’Hospital-szabály):

Számláló deriváltja: 2•e²ˣ

Annak értéke 0-nál: 2•e⁰ = 2

Nevező deriváltja: 3•x²+6

Értéke 0-nál: 3•0²+6 = 6

Tehát:

lim (e²ˣ – 1)/(x³ + 6•x) = 2•e²ˣ/(3•x²+6) = 2/6 = 1/3

x→0

"Ha behelyettesítjük az „n“ helyébe a ∞ értéket, akkor a számlálóban is nulla jön ki,..."

Helyesbítek:

"Ha behelyettesítjük az „x“ helyébe a 0 értéket, akkor a számlálóban is nulla jön ki,..."

A szöveget egy előző hozzászólásból vettem át és elfelejtettem "aktualizálni".