Hogyan kell megoldani? (matek)
de ezeket nem egybe végezte el,hanem külön
a+b=c
a-b=d
a*b=e
a/b=f
c,d,e,f eredmény- két szám lehet
Izgalmas feladat! :-)
Bármennyire is hihetetlen, a meghökkentő feltételeket állító feladatnak van konkrét megoldása!
Legyen a két szám
x és y
A feladat szerint a következő műveleteket kell elvégezni velük
x + y
x - y
x*y
x/y
Ha csak kétféle szám lehet ezeknek az eredménye, jobb híján meg kell vizsgálni, mi adódik a műveletek párosításával előálló egyenletekből. Négy elemből - műveletből - (4 alatta 2) = 6 párt lehet képezni, ezek
(A) x + y = x - y
(B) x + y = x*y
(C) x + y = x/y
(D) x - y = x*y
(E) x - y = x/y
(F) x*y = x/y
Lássuk sorban
(A)
Eleve kiesik, mert y = 0 adódik belőle, ez pedig a feladat szerint nem lehet.
(B)
x + y = x*y
x = y/(y - 1)
(C)
x + y = x/y
xy + y² = x
y² = x(1 - y)
x = y²/(1 - y)
(D)
x - y = x*y
x(1 - y) = y
x = y/(1 - y)
(E)
x - y = x/y
xy - y² = x
x(y - 1) = y²
x = y²/(y - 1)
(F)
x*y = x/y
y² = 1
Egyelőre 5 féle megoldás van
(1) x = ±y/(y - 1)
(2) x = ±y²/(y - 1)
(3) y² = 1
Az (3) megoldás kiesik, mivel ezzel az értékkel x végtelen lenne, tehát marad 4 változat.
A továbbiakban 'y' értékét kéne meghatározni. Ezt a (2) egyenletekből lehet elérni
(2') x = y²/(y - 1)
Zárójel felbontás, rendezés után a
0 = y² - xy + x
egyenlet adódik, melynek nincs valós megoldása, mivel a determinánsa negatív.
(2")
x = -y²/(y - 1)
x = y²/(1 - y)
Zárójel felbontás, rendezés után a
0 = y² + xy - x
egyenlet adódik, melynek már van két valós gyöke
y1 = x*(√5 - 1)/2
y2 = -x*(√5 + 1)/2
Az eredeti, a (C) x + y = x/y egyenletbe behelyettesítve 'y' értékeit
x = 1
adódik.
Így
y1 = (√5 - 1)/2
y2 = -(√5 + 1)/2
Már csak azt kell eldönteni, hogy a két 'y' érték közül, melyik felel meg a feladat feltételeinek.
Nem írom le a behelyettesítéseket az x + y, x - y, x*y, x/y műveletekbe, a végeredmény az, hogy
x = 1
y = (√5 - 1)/2
==========
értékpár a megoldás, a műveletek elvégzése utáni két érték
(√5 - 1)/2
(√5 + 1)/2
amely értékek az aranymetszés arányszámai.
φ = (√5 - 1)/2
Φ = (√5 + 1)/2
DeeDee
*************
c és d nem lehet egyelő, mert akkor b 0 lenne. Tehát c és d különbözőek és ( c=e és d=f ) vagy ( c=f és d=e ).
c, d, e, f nem lehet egyik sem 0, mert f és e nem lehet 0, c és d pedig ezekkel egyenlő. Ezért nem lehet a=b (d 0 lenne) és ellentettek sem lehetnek (c 0 lenne).
Ha mindkét szám negatív, akkor az összegük negatív, a szorzatuk és a hányadosuk pozitív - c=e és c=f közöl egyik sem teljesülhet, ez baj, nem lehet mindkettő negatív, legfeljebb az egyik.
Ha mindkettő pozitív, akkor c, e, f is pozitív. a-nak nagyobb abszolút értékűnek kell lennie, hogy d is pozitív legyen.
Ha az egyik negatív, a másik pozitív, akkor e és f negatív, c és d is negatív kell legyen. Ezért a-nak kell negatívnak, b-nek pozitívnak lennie, és a abszolút értéke nagyobb kell legyen ez esetben.
Két lehetőség van:
a+b=c
a-b=d
a*b=c
a/b=d
vagy
a+b=c
a-b=d
a*b=d
a/b=c
Ez két egyenletrendszer, végig kell őket számolni külön-külön, és kijön, hogy van megoldás vagy nincs.
Egy megoldást én is találtam:
a = ½
b = -1
ez könnyen lehet ellenőrizni, tényleg jó:
a + b = ½ - 1 = -½
a - b = ½ + 1 = 1½
a · b = ½ · (-1) = -½
a / b = ½ / (-1) = -½
lám, tényleg kétféle végértéket kapunk, -½ és 1½ közül adódnak.
A lehetséges esetek közül (szerintem 10 van), mindössze három esetet vizsgáltam meg, így lehetnek még újdonságok (egyéb megoldások) is.
Mivel sok képletet kellett írni, ezért a könnyebb olvashatóság érdekében külön kódmegosztó oldalra töltöttem fel a (részleges) levezetésemet, mert ott lehet képletet is írni:
Sajnálatos módon az előző megoldásom, bármilyen érdekes is, egy gyermeteg hiba miatt rossz!! Felejtős! :-)
Egy része viszont jó, és ebből kiindulva megoldás is van.
Ez két kifejezés rendben van
(1) x = ±y/(y - 1)
(2) x = ±y²/(y - 1)
és a négy érték páronkénti egyenlővé tételével az utolsó válaszoló megoldása jön ki, vagyis
x = 1/2
y = -1
=====
DeeDee
***********
A példa során tulajdonképp két problémát kell megoldani. Az egyik nyilvánvalóan algebrai (egyenletek felállítása, megoldások számának levezetése).
Azonban ami fontosabb, az nem is annyira algebrai, mint inkább kombinatorikai probléma: egyáltalán milyen lehetséges esetek vannak.
[link] #Counting_partitions
Persze nekünk nem az összes lehetséges partíció kell, hanem azok közül csak ,,kétosztatúak''.
Az S(4,2) kiszámolásánál volt egy hibám, valójában nem 10, hanem csak 7 eset van: 4 elemű halmaz összes "két-osztatú" partícióinak száma csak 7, ezt lehet is ellenőrizni az értéktáblázatból:
Szerencsére persze nem kell ismerni a Stirling-számok fogalmát, mert a példa olyan kis számokkal dolgozik, hogy kézzel is könnyű elősorolni a lehetséges eseteket.
Ezt kétféle “séma” szerint tehetjük meg: “kettő kettő ellen” és “hárman egy ellen”.
Szóval a {+, -, ·, /} halmaz összes lehetséges 2-partíciói:
“kettő kettő ellen”
* {+} és {-, ·, /},
* {-} és {+, ·, /},
* {·} és {+, -, /},
* {/} és {+, -, ·},
“hárman egy ellen”
* {+, -} és {·, /},
* {+, ·} és {-, /},
* {+, /} és {-, ·}
Utóbbinál ügyelni kell rá, nemhogy véletlenül duplán számítsunk valamit:
* {+, -} és {·, /},
* {+, ·} és {-, /},
* {+, /} és {-, ·},
* {-, ·} és {+, /},
* {-, /} és {+, ·},
* {·, /} és {+, -}
ha így írnánk fel, akkor rendre duplán számítanánk azokat a felosztásokat, amelyeknél csak a ,,térfélcsere'' a különbség. A feladat szerint a ,,térfélcsere'' nem számít, lehetne olyan a feladat is (pl. valamiféle előírással, rögzítéssel), hogy számítson, de hát itt most nem számít. Ez volt az a pont ahol elkövettem a hibát.
Szóval itt az esetek leszámíthatók úgy is, mint összesítem négy elem összes lehetséges kételemű részhalmazainak számának **felét** (!), és még négy elem összes lehetséges egyelemű részhalmazainak számát (vagyis magát a négyet).
Luca egy táblára felírt két nullától különböz}o számot. Ezek után rendre beírta közéjük az össze-
adás, kivonás, szorzás és végül az osztás m}uveleti jelét, majd ezeket a m}uveleteket sorra helyesen
el is végezte. Az eredmények között csupán két különböz}o érték fordult el}o. Melyik két számot
írhatta fel Luca eredetileg a táblára?
Szerintem az első ½, a második pedig -1:
Összegük: ½ + (-1) = ½ -1 = -½
Különbségük: ½ - (-1) = ½ + 1 = 1½
Szorzatuk: ½ · (-1) = -(½·1) = -½
Hányadosuk: ½ / (-1) = -(½ / 1) = -½
az összeg egybeesik a szorzattal és a hányadossal, ezek mindhárman -½ eredményt adnak, az öszeg pedig -½. Tehát ekkor nincs más végeredmény, csak ez a kétféle érték, vagyis -½ és 1½.közül adódnak.
Azt most még nem tudom, van-e más megoldás is, mert a hét lehetséges eset közül nem próbáltam ki mindet.
Javítás:
,,az összeg egybeesik a szorzattal és a hányadossal, ezek mindhárman -½ eredményt adnak, a különbség pedig 1½. Tehát ekkor nincs más végeredmény, csak ez a kétféle érték, vagyis -½ és 1½.közül adódnak. ''
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!