Levezetnétek az ezt a másodfokú egyenletrendszert?

A feladat az

(A) x² - 3xy + y² = -1,

(B) 3x² - xy + 3y² = 13

másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása

Két megoldás is van, ízlés dolga melyik tetszik jobban. :-)

1. megoldás

Az (A) háromszorosából kivonjuk a (B)-t

3x² - 9xy + 3y² = -3

3x² - xy + 3y² = 13 /-

8xy = 16

xy = 2

A (B) háromszorosából kivonjuk (A)-t

9x² - 3xy + 9y² = 39

x² - 3xy + y² = -1 /-

8x² + 8y² = 40

x² + y² = 5

Van két egyenlet két ismeretlenhez

(C) x² + y² = 5

(D) xy = 2

(D)-ből

(E) y = 2/x

(C)-e helyettesítve

x² + 4/x² = 5

A negyedfokú egyenletet elkerülendő legyen

x² = a

ezzel a következő egyelet lesz

a + 1/a = 5

rendezve

a² - 5a + 4 = 0

a gyökök

a1 = 4

a2 = 1

így

x1 = ±2; x2 = ±1

(E)-ből

y1 = ±1; y2 = ±2

=============

2. megoldás

(A') x² - 3xy + y² = -1

(B') 3x² - xy + 3y² = 13

Mindkét egyenletet részben teljes négyzetté lehet aalakítani

(A') x² - 2xy + y² - xy = -1

(x - y)² - xy = -1

(B') 3x² - xy + 3y² = 13

3x² - xy + 3y² - 5xy + 5xy = 13

3(x² - 2xy + y²) + 5xy = 13

3(x - y)² + 5xy = 13

A két egyenlet

(C') (x - y)² - xy = -1

(D') 3(x - y)² + 5xy = 13

(D') - 3*(C')

8xy = 16

xy = 2

5*(C') + (D')

8(x - y)² = 8

(x - y)² = 1

Ebből a két egyenletből

(x - y)² = 1

xy = 2

ugyanarra az egyenletre jutsz, mint az előbbi módszernél

Írj, ha valami nem világos

DeeDee

***********