L'Hospital szabály bizonyítása végtelen/végtelen határérték esetén?

L’Hospital-szabály a Taylor-féle sorbafejtésen alapszik, ugyanis:

∞

∑ fⁿ(a)•(x-a)ⁿ/n! = f(x)

n=0

fⁿ(a) = dⁿf(a)/(dx)ⁿ

f⁰(a) = f(a) = 0, g⁰(a) = g(a) = 0 ezért ezek a tagok kiesnek, marad a következő tag az f¹(a)•(x-a) meg a g¹(a)•(x-a) a többi tag meg megint kiesik, mert már a következő tag esetén is érvényes (a többire meg hasonlóan méginkább) :

lim (x-a)²/(x-a) = x-a = 0

x→a

Marad tehát:

lim f(x)/g(x) = f¹(a)•(x-a)/[g¹(a)•(x-a)] = f¹(a)/g¹(a)

x→a

Bővebben:

[link]

[link]

A kérdés:

lim f(x) = ∞

x→a

lim g(x)= ∞

x→a

lim f(x)/g(x) = ?

x→a

Érvényes:

lim 1/g(x) = 0

x→a

lim 1/f(x) = 0

x→a

f(x)/g(x) = [1/g(x)]/[1/f(x)]

Legyen: 1/f(x) = h(x), 1/g(x) = k(x), tehát:

f(x)/g(x) = [1/g(x)]/[1/f(x)] = k(x)/h(x)

A L’Hospital-szabály értelmében:

lim k(x)/h(x) = k'(a)/h'(a), mert:

x→a

lim k(x) = 0

x→a

lim h(x) = 0

x→a

=============

Másfelől érvényes ez is:

lim f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)

x→a

Levezetés (valahogy így kell, nem tudom pontosan):

lim f(x)/g(x) = lim [1/g(x)]/[1/f(x)] = [1/g(a)]'/[1/f(a)]' = –g(a)'/[g(a)]²/{–f(a)'/[f(a)]²} =

x→a

= [f(a)]²*g(a)'/{[g(a)]²*f(a)'}

lim f(x)/g(x) = [f(a)]²*g(a)'/{[g(a)]²*f(a)'} /megfordítjuk

x→a

lim g(x)/f(x) = [g(a)]²*f(a)'/{[f(a)]²*g(a)' /*[f(a)]²/[g(a)]²

x→a

lim g(x)/f(x)*[f(a)]²/[g(a)]² = f(a)'/g(a)'

x→a

lim g(x)/f(x)*[f(x)]²/[g(x)]² = f(a)'/g(a)'

x→a

lim f(x)/g(x) = f(a)'/g(a)'

x→a